Claude собрал доказательство теоремы Ферма в Lean

Claude за 11 дней собрал первое полностью проверенное компьютером доказательство Великой теоремы Ферма: 13 млн строк кода на Lean и 29 500 промежуточных теорем в итоговой цепочке. Модель работала по большей части автономно, разбор хода формализации и ссылки на код опубликовала Anthropic. Сообщество закладывало на такую работу годы.

Коротко

• Работали десятки агентов в связке Claude Code: они определяли понятия, доказывали промежуточные утверждения и строили из них более сложные, а человек вмешивался редкими указаниями по приоритетам.
• Прогон обошёлся примерно в шесть миллиардов выходных токенов внутренней исследовательской модели общего назначения, примерно сопоставимой с Claude Fable 5.1, а на весь проект ушло чуть меньше двух недель.
• Кевин Баззард, просмотревший результат, говорит, что артефакты автоформализации стали достаточно надёжными, чтобы на них строить дальше, и что по дороге формализованы алгебра, гармонический анализ, геометрия и теория чисел.

Скорость, показанная на теореме Ферма, судя по всему, переводит формальную проверку из разряда многолетних проектов в операцию, которую можно ставить рядом с обычным текстом доказательства. Для потока математики, написанной моделями, это выглядит как единственный способ рецензирования, который масштабируется вместе с объёмом. При этом ценность формализации здесь не в новой математике, а в том, что доверие к результату перестаёт упираться во время и внимание рецензентов.

Сообщество закладывало на формализацию годы, а план начальной фазы занимает 86 страниц

Доказательство Эндрю Уайлса 1995 года занимает 129 страниц, и на его проверку ушли месяцы: через два месяца после лекций 1993 года рецензент нашёл в рассуждении критический пробел, который Уайлс закрывал год, в итоге вместе с Ричардом Тейлором. Корректная версия вышла в мае 1995 года.

Идею формализовать доказательство выдвинул нидерландский информатик Ян Бергстра примерно через десять лет после публикации. В 2024 году Кевин Баззард из Imperial College London запустил многолетний проект сообщества по формализации теоремы в Lean, только план начальной фазы занимает 86 страниц. Человеческое доказательство пропускает очевидные шаги, Lean требует каждый.

Задача оставалась открытой больше 350 лет. В 1908 году за корректное доказательство объявили приз в 100 000 золотых марок, и только за первый год появилась 621 неверная попытка. Элементарного доказательства, о котором писал сам Ферма, не нашли до сих пор, и в сообществе считают, что его собственное рассуждение было ошибочным.

Первые попытки агентов дали около 7% строк итогового доказательства

Ранние прогоны провалились: агенты добивались локальных успехов, но быстро теряли картину состояния проекта и переставали работать вместе. Их наработки дали примерно 7% строк итогового доказательства без учёта шаблонного кода. Дело сдвинулось после перехода на Prove2Me, открытую платформу для совместной формализации от Тяньи Пэна и его группы в Колумбийском университете.

Платформа держит направленный ациклический граф формулировок, по которому агенты выбирают следующую цель, разносит утверждения и доказательства по разным файлам ради скорости компиляции Lean и хранит описание каждой формулировки на естественном языке для поиска и переиспользования. Это снимало деградацию памяти и позволяло десяткам агентов работать параллельно.

Доказательство следует упрощённому изложению Уайлса по Дармону, Даймонду и Тейлору, а отдельные куски адаптированы из проекта FLT в Imperial College London и из flt-regular. План кампании в Prove2Me разбит на три ключевые подтеоремы и близко повторяет структуру исходного доказательства Уайлса 1995 года.

13 млн строк Lean это более чем впятеро больше библиотеки Mathlib

Итоговый артефакт более чем впятеро больше Mathlib, основной библиотеки формализованной математики, на которой строится вся конструкция. В Anthropic связывают разрыв с тем, что Mathlib компактна и вычитана, а сгенерированное доказательство, вероятно, заметно длиннее необходимого. По ходу работы Claude доказал 30 300 теорем, часть из которых в финальную цепочку не вошла.

Результат проверил Lean: доказательство опирается только на три стандартные аксиомы, а компаратор подтвердил, что формулировка теоремы совпадает с той, что записана в Mathlib. Баззард отмечает, что доказательство не использует никаких допущений сверх аксиом математики. По его оценке, автоформализация современной математической литературы стала заметно ближе, а такие техники дадут инструменты для поиска ошибок в существующем корпусе и для проверки текстов, написанных языковыми моделями.

Проект вышел токеноёмким, и в Anthropic называют его самым большим доказательством на Lean из когда-либо построенных. В отдельном эксперименте исследователи компании на трёх личных подписках Claude Max формализовали теорему Виноградова о трёх простых числах, агенты общались только через Prove2Me, и вся работа заняла три дня.

Куда пойдут гранты Anthropic: Anthropic и другие лаборатории расширили поддержку внешних исследователей, включая математиков из чистой математики и формализации, бесплатными и льготными подписками и исследовательскими кредитами, а отдельные гранты рассчитаны на крупные научные проекты вроде формализации других больших теорем и работы над Lean и Mathlib. В компании ожидают, что формализованное доказательство станет обычным приложением к тексту, написанному для человека. Полный код и письменный разбор выложены на GitHub.