Ламзури укоротил доказательство теоремы Claude

Математик Юнесс Ламзури 2 сентября выложил на arXiv новое доказательство результата, который в августе получила внутренняя исследовательская версия Claude. Утверждение то же: больше 67,25% нетривиальных нулей дзета-функции Римана простые (кратности один) и лежат на критической прямой, не менее 83,62% нулей различны. Вариант Ламзури тоже безусловный, без опоры на гипотезу Римана, занимает 14 страниц, и автор называет его концептуально более простым.

Anthropic 10 августа объявила, что Claude поднял нижнюю оценку с 41,6% до 67,2%. Препринт 2608.13637 подали 13 августа, отправителем значится Ральф Фурман, а в комментарии сказано: «Доказательство найдено Claude автономно; проверено и представлено указанными авторами». Проверяли его Фурман и Альпёге. В аннотации исходной работы прежние безусловные рекорды названы прямо: 5/12 для простых нулей на прямой и 0,6603 для различных. Сам аргумент даёт две трети и пять шестых, а с окном Монтгомери-Тейлора константы превращаются в 0,6725 и 0,8362.

Опирается работа Claude на вывод Монтгомери 1973 года. Монтгомери получал такие доли из парной корреляции нулей (статистики того, как часто два нуля оказываются на заданном расстоянии друг от друга), но предполагал гипотезу Римана: только тогда сумма по нулям становится суммой положительных слагаемых по вещественным ординатам. Claude обошёл это предположение линейной алгеброй. Эрмитова форма Вейля сжимается до конечной матрицы, к ней применяется неравенство между рангом и следом эрмитовых матриц, а пары нулей вне прямой разбираются законом инерции Сильвестра. Поверх этого идёт расчёт второго момента по нулям через явную формулу. Ламзури называет аргумент технически запутанным и пишет, что его главный механизм не сразу прозрачен.

Конечномерную матричную конструкцию Ламзури убирает целиком и ставит на её место одно неравенство в гильбертовом пространстве. После этого теорема Монтгомери о парной корреляции применяется напрямую, в безусловной форме, которую получили Балуйот, Голдстон, Сурияджая и Тёрнедж-Баттербо. Их работа была и среди аналитических входов исходного доказательства, наряду с работой Арьяна, так что человеческая версия появилась уже меньше чем через три недели после первой версии препринта Claude и обходится без матриц.

Исходная работа при этом формально проверена в Lean 4, а её результаты распространяются и на примитивные L-функции Дирихле.